6. Решите систему уравнений [log3x + 2log3 y = 3, 2log3x - log3 y = 6.

Решение:

Данная система логарифмических уравнений:

\( \begin{cases} \log_3x + 2\log_3y = 3 \\ 2\log_3x - \log_3y = 6 \end{cases} \)

Введём замену переменных: \( a = \log_3x \) и \( b = \log_3y \).

Система примет вид:

\( \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 2a - b = 6 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 2:

\( \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 4a - 2b = 12 \end{cases} \)

Сложим первое и второе уравнения:

\( (a + 2b) + (4a - 2b) = 3 + 12 \)

\( 5a = 15 \)

\( a = 3 \)

Подставим \( a = 3 \) в первое уравнение \( a + 2b = 3 \):

\( 3 + 2b = 3 \)

\( 2b = 0 \)

\( b = 0 \)

Теперь вернёмся к исходным переменным:

\( \log_3x = a = 3 \) \( \implies \) \( x = 3^3 = 27 \)

\( \log_3y = b = 0 \) \( \implies \) \( y = 3^0 = 1 \)

Проверим решение в исходной системе:

1) \( \log_327 + 2\log_31 = 3 + 2 \cdot 0 = 3 \) (Верно)

2) \( 2\log_327 - \log_31 = 2 \cdot 3 - 0 = 6 \) (Верно)

Ответ: x = 27, y = 1.