6. Решите уравнение: \( \cos 2x - 4 \cos x - 1 = 0 \)

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).

Подставим эту формулу в уравнение:

\[ (2\cos^2 x - 1) - 4 \cos x - 1 = 0 \]

\[ 2\cos^2 x - 4 \cos x - 2 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \cos^2 x - 2 \cos x - 1 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 2t - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-b + 1\sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 1\sqrt{8}}{2} = \frac{2 + 21\sqrt{2}}{2} = 1 + 1\sqrt{2} \]

\[ t_2 = \frac{-b - 1\sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 21\sqrt{2}}{2} = 1 - 1\sqrt{2} \]

Теперь вернемся к замене \( t = \cos x \).

Случай 1: \( \cos x = 1 + 1\sqrt{2} \)

Так как \( 1\sqrt{2} > 1 \), то \( 1 + 1\sqrt{2} > 2 \). Значение косинуса не может быть больше 1, поэтому этот случай не имеет решений.

Случай 2: \( \cos x = 1 - 1\sqrt{2} \)

Поскольку \( -1 ≤ 1\cos x \u2264 1 \) и \( 1 - 1\sqrt{2} < 0 \), это значение косинуса допустимо.

Решение уравнения \( \cos x = a \) имеет вид \( x = 11 arccos(a) + 21ͩk \), где \( k ∈ ℤ \).

В нашем случае \( a = 1 - 1\sqrt{2} \). Следовательно:

\[ x = 11 \arccos(1 - 1\sqrt{2}) + 21ͩk, k ∈ ℤ \]

Ответ: \( x = 11 \arccos(1 - 1\sqrt{2}) + 21ͩk, k ∈ ℤ \).