8. Решите неравенство: \( 25^{4x-1} 10.25^{2x} > 125 \)

Решение:

Перепишем основание \( 0.25 \) как \( \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2} \) или \( \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} \). А \( 125 \) как \( 5^3 \). Основание \( 25 \) можно представить как \( 5^2 \).

Исходное неравенство:

\[ 25^{4x-1} 10.25^{2x} > 125 \]

Подставим основания в виде степеней одного числа (например, 5):

\[ (5^2)^{4x-1} 1 (5^{-2})^{2x} > 5^3 \]

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\[ 5^{2(4x-1)} 1 5^{-2(2x)} > 5^3 \]

\[ 5^{8x-2} 1 5^{-4x} > 5^3 \]

Используем свойство степеней \( a^m 1 a^n = a^{m+n} \):

\[ 5^{(8x-2) + (-4x)} > 5^3 \]

\[ 5^{4x-2} > 5^3 \]

Поскольку основание степени \( 5 > 1 \), показатели степеней можно сравнить напрямую:

\[ 4x - 2 > 3 \]

Решаем линейное неравенство:

\[ 4x > 3 + 2 \]

\[ 4x > 5 \]

\[ x > \frac{5}{4} \]

Ответ: \( x > \frac{5}{4} \).