№ 6. Решите уравнение: (х-2)² + 8x = (x−1)(1+x)

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала раскроем квадрат разности по формуле

   \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

   :

   \[ (x-2)^2 = x^2 - 2 \times x \times 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \]

2. Теперь вся левая часть выглядит так:

   \[ x^2 - 4x + 4 + 8x \]

3. Приведем подобные слагаемые в левой части:

   \[ x^2 + (-4x + 8x) + 4 = x^2 + 4x + 4 \]

4. Раскроем скобки в правой части уравнения по формуле разности квадратов

   \[ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \]

   :

   \[ (x-1)(1+x) = (x-1)(x+1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1 \]

5. Теперь уравнение выглядит так:

   \[ x^2 + 4x + 4 = x^2 - 1 \]

6. Перенесем все члены с x в левую часть, а числа — в правую:

   \[ x^2 + 4x - x^2 = -1 - 4 \]

7. Приведем подобные слагаемые:

   \[ (x^2 - x^2) + 4x = -5 \]

   \[ 0 + 4x = -5 \]

   \[ 4x = -5 \]

8. Найдем x, разделив обе части на 4:

   \[ x = \frac{-5}{4} \]

   \[ x = -1.25 \]

Ответ: x = -1.25