6. Решите уравнение \(\log_5(2x+3)=\log_{0,2}(x+1)\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

ОДЗ: \(2x+3>0\) и \(x+1>0\), поэтому \(x>-1\).

Так как \(0,2=\frac15\), то \(\log_{0,2}(x+1)=\log_{1/5}(x+1)=-\log_5(x+1)\).

Тогда:

\(\log_5(2x+3)=-\log_5(x+1)\),

\(\log_5\big((2x+3)(x+1)\big)=0\).

Следовательно, \((2x+3)(x+1)=1\).

\(2x^2+5x+3=1\),

\(2x^2+5x+2=0\),

\((2x+1)(x+2)=0\).

Корни: \(x=-\frac12\) и \(x=-2\). Условию ОДЗ удовлетворяет только \(x=-\frac12\).

Ответ: \(-\frac12\).