6) Решите уравнение: sin x = √2 / 2

Решение:

Уравнение \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) является простейшим тригонометрическим уравнением.

Мы знаем, что значение \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) достигается при \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = \frac{3\pi}{4} \) в пределах одного периода \( [0; 2\pi) \).

Учитывая периодичность синуса (период равен \( 2\pi \)), общее решение уравнения будет:

\[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

и

\[ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \]

где \( n \) — любое целое число.

Эти два ряда решений можно записать в виде:

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \]

Ответ: x = (-1)ⁿ ⋅ π/4 + πn, n ∈ ℤ