6) Решите уравнение: sin x = √2/2

Решение:

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида \( \text{sin} x = a \). Значение \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \) является табличным.

На единичной окружности синус соответствует ординате (y-координате). Значение \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) достигается в двух точках:

1. Угол \( \frac{\pi}{4} \) (или 45°)
2. Угол \( \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \) (или 135°)

Так как функция синус периодическая с периодом \( 2\pi \), то общее решение уравнения записывается как:

• \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
• \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Эти два ряда решений можно объединить в одну формулу:

• \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \) (где \( k \) — целое число).