6. С какой высоты упало тело, если за последнюю секунду падения оно прошло расстояние 50 м?

Решение:

В этой задаче нам известны:

• Расстояние, пройденное за последнюю секунду падения: \( \Delta s = 50 \text{ м} \)
• Ускорение свободного падения: \( g = 10 \text{ м/с}^2 \) (предполагая, что \( g=10 \) из контекста задачи 5)

Пусть \( t \) — общее время падения тела. Тогда за \( (t-1) \) секунд тело пролетело расстояние \( s_{t-1} \), а за \( t \) секунд — расстояние \( s_t \). Мы знаем, что \( s_t - s_{t-1} = 50 \text{ м} \).

Формула для пройденного пути: \( s = \frac{gt^2}{2} \).

Значит:

\[ s_t = \frac{gt^2}{2} \]

\[ s_{t-1} = \frac{g(t-1)^2}{2} \]

Подставим в уравнение \( s_t - s_{t-1} = 50 \):

\[ \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t-1)^2}{2} = 50 \]

Умножим обе части на 2:

\[ gt^2 - g(t-1)^2 = 100 \]

Раскроем скобки:

\[ gt^2 - g(t^2 - 2t + 1) = 100 \]

\[ gt^2 - gt^2 + 2gt - g = 100 \]

\[ 2gt - g = 100 \]

Подставим значение \( g = 10 \text{ м/с}^2 \):

\[ 2 \cdot 10 \cdot t - 10 = 100 \]

\[ 20t - 10 = 100 \]

\[ 20t = 110 \]

\[ t = \frac{110}{20} = 5.5 \text{ с} \]

Теперь, зная общее время падения \( t \), мы можем найти общую высоту \( h \) (или \( s_t \)) по формуле:

\[ h = s_t = \frac{gt^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (5.5 \text{ с})^2}{2} \]

\[ h = \frac{10 \cdot 30.25}{2} = 5 \cdot 30.25 = 151.25 \text{ м} \]

Ответ: 151.25 м