7. На какой высоте скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0, уменьшится в 5 раз?

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы кинематики для движения тела, брошенного вертикально вверх. Скорость тела будет уменьшаться под действием силы тяжести (ускорение \( g \), направленное вниз).

Формула скорости при равноускоренном движении:

\[ v = v_0 + at \]

В нашем случае ускорение \( a = -g \) (направлено против начальной скорости).

\[ v = v_0 - gt \]

Формула для высоты:

\[ h = v_0t + \frac{at^2}{2} = v_0t - \frac{gt^2}{2} \]

Также нам понадобится формула, связывающая скорость и перемещение без времени:

\[ v^2 = v_0^2 + 2as \]

В нашем случае \( s \) — это высота \( h \), а \( a = -g \).

\[ v^2 = v_0^2 - 2gh \]

Условие задачи: скорость тела уменьшится в 5 раз. Это значит, что конечная скорость \( v \) будет равна \( \frac{v_0}{5} \).

Подставим это в формулу:

\[ \left(\frac{v_0}{5}\right)^2 = v_0^2 - 2gh \]

\[ \frac{v_0^2}{25} = v_0^2 - 2gh \]

Теперь нам нужно выразить высоту \( h \).

Перенесем \( v_0^2 \) влево, а \( -2gh \) вправо:

\[ \frac{v_0^2}{25} - v_0^2 = -2gh \]

Приведем к общему знаменателю в левой части:

\[ \frac{v_0^2 - 25v_0^2}{25} = -2gh \]

\[ \frac{-24v_0^2}{25} = -2gh \]

Разделим обе части на \( -2g \) (два минуса дадут плюс):

\[ h = \frac{-24v_0^2}{25 \cdot (-2g)} \]

\[ h = \frac{24v_0^2}{50g} \]

Сократим дробь:

\[ h = \frac{12v_0^2}{25g} \]

Ответ: h = $$\frac{12v_0^2}{25g}$$