6) Сколько точек надо взять между точками A и B, чтобы вместе с отрезком AB получилось пятьдесят различных отрезков?

Если между A и B отметить ещё n точек, всего на прямой будет n + 2 точки. Каждая пара точек задаёт один отрезок, поэтому общее число отрезков равно \(\frac{(n+2)(n+1)}{2}\). Для 50 отрезков потребовалось бы \(\frac{(n+2)(n+1)}{2}=50\), то есть \((n+2)(n+1)=100\). Но произведение двух последовательных целых чисел не может быть равно 100: при n = 8 получается 45 отрезков, а при n = 9 — 55.

Ответ: такого целого числа точек не существует.