№ 6. Сократите дроби: а) (x + 3√(5x))/(x − 45); б) (√(125a³) + √(64b³))/(5a − 2√(5ab) + 4b).

1. Разложим знаменатель как разность квадратов:

   \(x-45=(\sqrt x)^2-(3\sqrt5)^2=(\sqrt x-3\sqrt5)(\sqrt x+3\sqrt5)\).

   Числитель: \(x+3\sqrt{5x}=\sqrt x(\sqrt x+3\sqrt5)\). Сокращаем общий множитель \(\sqrt x+3\sqrt5\):

   \(\frac{x+3\sqrt{5x}}{x-45}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3\sqrt5}\), где \(x\ge 0\), \(x\ne45\).

2. Положим \(u=\sqrt{5a}\), \(v=2\sqrt b\). Тогда числитель равен \(u^3+v^3\), а знаменатель — \(u^2-uv+v^2\):

   \(\sqrt{125a^3}=(\sqrt{5a})^3\), \(\sqrt{64b^3}=(2\sqrt b)^3\), и \(5a-2\sqrt{5ab}+4b=u^2-uv+v^2\).

   По формуле суммы кубов \(u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)\). После сокращения получаем \(\sqrt{5a}+2\sqrt b\) (при допустимых значениях переменных и ненулевом знаменателе).

Ответ: а) √x/(√x − 3√5); б) √(5a) + 2√b.