6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.

1. Площадь основания: Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 6 \) см. Площадь правильного треугольника \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
2. \( S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \) см².
3. Высота пирамиды: Пусть \( O \) — центр основания, \( K \) — вершина пирамиды, \( A \) — одна из вершин основания. Тогда \( KO = H \) — высота пирамиды. \( KA \) — боковое ребро. Угол между боковым ребром \( KA \) и плоскостью основания — это угол \( \angle KAO \), который равен 45°.
4. В правильном треугольнике центр \( O \) является точкой пересечения медиан (и высот, и биссектрис). Радиус описанной окружности \( R \) (расстояние от центра до вершины) равен \( AO \).
5. \( AO = R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} \) см.
6. В прямоугольном треугольнике \( \triangle KAO \) (угол \( O = 90^{\circ} \)): \( \text{tg}(\angle KAO) = \frac{KO}{AO} \).
7. \( \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{H}{2 \sqrt{3}} \). Поскольку \( \text{tg}(45^{\circ}) = 1 \), то \( 1 = \frac{H}{2 \sqrt{3}} \).
8. \( H = 2 \sqrt{3} \) см.
9. Объем пирамиды:
10. \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 2 \sqrt{3} \text{ см} \)
11. \( V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18 \) см³.

Ответ: 18 см³.