6*. Стрелок делает два выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7. Если стрелок в первый раз не попал в мишень, то вероятность попадания при втором выстреле не меняется. Если же стрелок при первом выстреле попал в мишень, то вероятность попадания во второй раз увеличивается до 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно один раз.

Задание 6. Вероятность ровно одного попадания

Дано:

• Стрелок делает два выстрела.
• Вероятность попадания при первом выстреле: \( P(П1) = 0.7 \).
• Вероятность промаха при первом выстреле: \( P(М1) = 1 - P(П1) = 1 - 0.7 = 0.3 \).
• Если стрелок промахнулся при первом выстреле (М1), то вероятность попадания при втором выстреле не меняется: \( P(П2 | М1) = P(П1) = 0.7 \).
• Если стрелок попал при первом выстреле (П1), то вероятность попадания при втором выстреле увеличивается: \( P(П2 | П1) = 0.9 \).
• Вероятность промаха при втором выстреле, если попал при первом: \( P(М2 | П1) = 1 - P(П2 | П1) = 1 - 0.9 = 0.1 \).
• Вероятность промаха при втором выстреле, если промахнулся при первом: \( P(М2 | М1) = 1 - P(П2 | М1) = 1 - 0.7 = 0.3 \).

Найти: Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно один раз.

Решение:

Событие «стрелок попадёт в мишень ровно один раз» может произойти в двух несовместных случаях:

1. Стрелок попал при первом выстреле И промахнулся при втором выстреле (событие П1 и М2).
2. Стрелок промахнулся при первом выстреле И попал при втором выстреле (событие М1 и П2).

Рассчитаем вероятность каждого случая:

Случай 1: Попал первым, промахнулся вторым (П1 и М2)

Вероятность этого случая равна произведению вероятности первого события и условной вероятности второго события:

\[ P(\text{П1 и М2}) = P(П1) \times P(М2 | П1) \]

\[ P(\text{П1 и М2}) = 0.7 \times 0.1 = 0.07 \]

Случай 2: Промахнулся первым, попал вторым (М1 и П2)

Вероятность этого случая равна произведению вероятности первого события и условной вероятности второго события:

\[ P(\text{М1 и П2}) = P(М1) \times P(П2 | М1) \]

\[ P(\text{М1 и П2}) = 0.3 \times 0.7 = 0.21 \]

Так как эти два случая несовместны (они не могут произойти одновременно), общая вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно один раз, равна сумме вероятностей этих двух случаев:

\[ P(\text{ровно одно попадание}) = P(\text{П1 и М2}) + P(\text{М1 и П2}) \]

\[ P(\text{ровно одно попадание}) = 0.07 + 0.21 = 0.28 \]

Ответ: Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно один раз, равна 0.28.