6. Сумма нескольких натуральных чисел равна 13. Какое максимальное произведение у них может быть? (Пример и письменное доказательство максимальности)

Для фиксированной суммы произведение увеличивается, если заменить два числа, отличающихся хотя бы на 2, двумя более близкими числами: \(a\cdot b<(a+1)(b-1)\) при \(b-a>1\). Поэтому в максимуме слагаемые отличаются не более чем на 1.

Разложим 13 на как можно больше равных или почти равных натуральных слагаемых: \(13=4+4+5\). Их произведение равно \(4\cdot4\cdot5=80\). Разбиение на большее число слагаемых не лучше: например, замена 4 на \(1+1+1+1\) уменьшает произведение, поскольку \(4<1\cdot1\cdot1\cdot1\) неверно; оптимальное разбиение с большим количеством слагаемых — \(3+3+3+4\), произведение 108. Следовательно, нужно сравнить разбиения.

Для суммы 13 наилучшее разбиение на слагаемые, близкие друг к другу, даёт \(3+3+3+4\), произведение \(108\); оно больше 80. При трёх слагаемых максимум 80, при четырёх — 108. При пяти слагаемых наиболее близкое разбиение \(3+3+3+2+2\) даёт 108, а при шести — \(3+2+2+2+2+2=13\) даёт 96. Дальнейшее увеличение числа слагаемых уменьшает произведение.

Ответ: 108, например, при числах 3, 3, 3 и 4.