6. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через точку на высоте h. Промежуток времени между этими прохождениями равен Δt. Найти начальную скорость тела v₀ и время Δt₀ от начала движения тела до возврата в начальное положение.

Пусть моменты прохождения точки — \(t_1\) и \(t_2\), причём \(t_2-t_1=\Delta t\). Скорость тела при прохождении этой высоты вверх и вниз равна по модулю \(g\Delta t/2\): скорость меняется с ускорением \(g\), а между прохождениями проходит \(\Delta t\).

1. По связи скорости и высоты: \(v_0^2=(g\Delta t/2)^2+2gh\).
2. Следовательно, \(v_0=\sqrt{2gh+\frac{g^2(\Delta t)^2}{4}}\).
3. Время возвращения в начальное положение равно времени полёта вверх и обратно: \(\Delta t_0=\frac{2v_0}{g}=\sqrt{(\Delta t)^2+\frac{8h}{g}}\).

Ответ: \(v_0=\sqrt{2gh+\frac{g^2(\Delta t)^2}{4}}\), \(\Delta t_0=\sqrt{(\Delta t)^2+\frac{8h}{g}}\).