6. Тип 14 № 12964 Рассмотрите рисунок на клетчатой бумаге. Найдите площадь заштрихованной области. Число п принять равным 3,14, сторона клетки равна 0,5 см.

Решение:

Сначала определим размеры фигуры по клеткам.

Большой круг охватывает 7 клеток в диаметре. Следовательно, диаметр большого круга \( d_{большой} = 7 \times 0,5 \) см = 3,5 см.

Радиус большого круга \( R = \frac{d_{большой}}{2} = \frac{3,5}{2} = 1,75 \) см.

Площадь большого круга: \( S_{большой} = \pi R^2 = 3,14 \times (1,75)^2 = 3,14 \times 3,0625 = 9,61625 \) см².

Заштрихованная область — это квадрат с вырезанным крестом.

Квадрат на рисунке состоит из 6x6 клеток.

Сторона квадрата \( a_{квадрат} = 6 \times 0,5 \) см = 3 см.

Площадь квадрата: \( S_{квадрат} = a_{квадрат}^2 = 3^2 = 9 \) см².

Крест состоит из 5 клеток по горизонтали (в центре) и 5 клеток по вертикали (в центре). Каждая клетка креста имеет площадь \( (0,5)^2 = 0,25 \) см².

Площадь креста: \( S_{крест} = 5 \times 0,25 + 5 \times 0,25 - 0,25 \) (центральная клетка учитывается дважды) = \( 1,25 + 1,25 - 0,25 \) = 2,25 см².

Площадь заштрихованной области = Площадь большого круга - Площадь квадрата + Площадь креста (так как крест вырезан из квадрата, а заштрихована область вне этого креста, но внутри круга).

Однако, на рисунке заштрихована область между большим кругом и внутренним квадратом, из которого вырезан крест. Таким образом, нужно найти площадь большого круга и вычесть из неё площадь квадрата. Но часть квадрата, которая не входит в крест, также заштрихована. Посмотрим внимательнее: заштрихована вся область внутри большого круга, кроме той части, которая занимает внутренний квадрат без креста.

Правильнее будет: Площадь заштрихованной области = Площадь большого круга - Площадь белой части внутри большого круга.

Белая часть — это квадрат с вырезанным крестом. Площадь белой части = Площадь квадрата - Площадь креста.

Площадь квадрата, который занимает крест и белые участки внутри него, равна \( 6 \times 6 = 36 \) клеток. Сторона этого квадрата \( 6 \times 0,5 = 3 \) см. Площадь этого квадрата \( 3 \times 3 = 9 \) см².

Крест занимает 5x5 клеток в центре + 2x2 клетки сверху/снизу + 2x2 клетки слева/справа, но центральная клетка будет пересекаться. Крест занимает 5 клеток по горизонтали и 5 по вертикали, каждая клетка 0.5 см. Общая площадь креста (без учета пересечений) = \( (5 \times 0.5) \times (5 \times 0.5) \) - это неверно. Крест состоит из 21 клетки. Каждая клетка 0.25 см² (0.5*0.5). Площадь креста = \( 21 \times 0.25 = 5.25 \) см².

Давайте считать по клеткам:

Большой круг: Измеряя по сетке, диаметр круга приблизительно 7 клеток. Радиус = 3.5 клетки. Площадь круга \( \pi \times (3.5 \text{ клеток})^2 \times (0.5 \text{ см/клетка})^2 \) = \( 3.14 \times 12.25 \times 0.25 \) см² = 9.61625 см².

Внутренний квадрат: 6x6 клеток. Сторона = 3 см. Площадь = 9 см².

Заштрихованная область - это область внутри большого круга, но вне квадрата, из которого вырезан крест. То есть, Площадь заштрихованной области = Площадь большого круга - Площадь квадрата + Площадь креста (так как крест вырезан из квадрата, а заштрихована область вне этого креста, но внутри круга).

Проще посчитать количество заштрихованных клеток:

Общее количество клеток внутри большого круга: Приблизительно 48 клеток.

Количество клеток, занятых квадратом (белым): 36 клеток.

Количество клеток, занятых крестом (белым): 21 клетка.

Количество заштрихованных клеток = (Клетки внутри круга) - (Клетки квадрата - Клетки креста).

Общее количество клеток в круге приблизительно 48.

Площадь белой части = Площадь квадрата - Площадь креста = 9 - 5.25 = 3.75 см².

Площадь заштрихованной области = Площадь большого круга - Площадь белой части.

Площадь заштрихованной области = \( 9.61625 - 3.75 = 5.86625 \) см².

Давайте пересчитаем площадь креста: центральная клетка (1), 4 клетки по одной в каждом направлении (4), 8 клеток по две в каждом направлении (8), 8 клеток по три в каждом направлении (8). Итого 1+4+8+8 = 21 клетка. Это верно. Площадь креста = \( 21 \times (0.5 \text{ см})^2 = 21 \times 0.25 \text{ см}^2 = 5.25 \text{ см}^2 \).

Площадь квадрата = \( (6 \times 0.5 \text{ см})^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2 \).

Площадь круга = \( 3.14 \times (3.5 \text{ см})^2 = 3.14 \times 12.25 = 38.465 \text{ см}^2 \). Это радиус = 3.5 клетки, диаметр = 7 клеток.

Площадь заштрихованной области = Площадь большого круга - (Площадь квадрата - Площадь креста)

Площадь заштрихованной области = \( 38.465 - (9 - 5.25) \) = \( 38.465 - 3.75 = 34.715 \text{ см}^2 \).

Пересчитаем радиус большого круга. Если 7 клеток — это диаметр, то радиус 3.5 клетки. Тогда площадь круга \( S = \pi r^2 = 3.14 \times (3.5)^2 = 3.14 \times 12.25 = 38.465 \) см².

Внутренний квадрат имеет сторону 6 клеток, т.е. 3 см. Его площадь \( 3^2 = 9 \) см².

Крест занимает 21 клетку. Площадь креста = \( 21 \times (0.5)^2 = 21 \times 0.25 = 5.25 \) см².

Площадь заштрихованной области = Площадь большого круга - (Площадь квадрата - Площадь креста).

Площадь заштрихованной области = \( 38.465 - (9 - 5.25) \) = \( 38.465 - 3.75 = 34.715 \text{ см}^2 \).

Ответ: Площадь заштрихованной области равна 34,715 см².