6. Точка M лежит в плоскости трапеции ABCD (AD ∥ BC). а) Докажите, что треугольники MAD и MBC имеют параллельные средние линии. б) Найдите длины этих средних линий, если AD : BC = 5 : 3, а средняя линия трапеции равна 16 см.

а) Пусть средняя линия треугольника MAD соединяет середины MA и MD, а средняя линия треугольника MBC — середины MB и MC. По теореме о средней линии треугольника первая параллельна AD, а вторая параллельна BC. Поскольку AD ∥ BC, средние линии этих треугольников параллельны друг другу.

б) Обозначим основания трапеции через AD = 5x и BC = 3x. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(\frac{AD+BC}{2}=16\), следовательно, \(\frac{5x+3x}{2}=16\), откуда \(4x=16\) и \(x=4\).

Тогда AD = 20 см, BC = 12 см. Средняя линия треугольника MAD равна половине AD: 10 см. Средняя линия треугольника MBC равна половине BC: 6 см.

Ответ: 10 см и 6 см.