6. Точки E и K — середины сторон AM и MZ треугольника AMZ соответственно, MS — медиана треугольника, C — точка пересечения отрезков MS и EK. а) Чему равна медиана MS, если MC = 39 см? б) Найдите AZ, если EC = 89 см. в) Найдите углы четырёхугольника MESK, если ∠A = 12°, ∠Z = 125°.

а) EK — средняя линия треугольника AMZ, поэтому она проходит через середину медианы MS. Значит, C — середина MS и \(MS = 2MC = 2 \cdot 39 = 78\) см.

б) C — середина средней линии EK, поэтому \(EK = 2EC = 2 \cdot 89 = 178\) см. Поскольку \(EK = \frac{AZ}{2}\), получаем \(AZ = 2 \cdot 178 = 356\) см.

в) В четырёхугольнике MESK противоположные стороны попарно параллельны, поэтому это параллелограмм. Угол M равен углу AMZ: \(180^\circ - 12^\circ - 125^\circ = 43^\circ\). Противоположный ему угол S также равен 43°, а соседние углы E и K равны \(180^\circ - 43^\circ = 137^\circ\).

Ответ: а) 78 см; б) 356 см; в) ∠M = ∠S = 43°, ∠E = ∠K = 137°.