6. Точки Н, А, С и S лежат на одной окружности так, что хорды НА и CS взаимно перпендикулярны, а ∠ASC = 81°. Найдите величину угла HCS. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Угол ∠ASC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC.
• Следовательно, градусная мера дуги AC равна 2 * ∠ASC = 2 * 81° = 162°.
• Хорды HA и CS перпендикулярны. Пусть точка их пересечения будет P.
• ∠APС = 90°.
• Угол ∠HCS — вписанный угол, опирающийся на дугу HS.
• Чтобы найти ∠HCS, нужно найти меру дуги HS.
• Угол ∠CAS — вписанный, опирается на дугу CS.
• Угол ∠CHA — вписанный, опирается на дугу AC.
• Угол ∠CSA — вписанный, опирается на дугу AC.
• Рассмотрим треугольник APS. ∠PAS + ∠ASP + ∠APS = 180°.
• ∠PAS = ∠HAS, ∠ASP = ∠ASC = 81°, ∠APS = 90° (вертикальный угол к ∠HPC).
• ∠HAS + 81° + 90° = 180° => ∠HAS = 180° - 171° = 9°.
• Угол ∠HAS — вписанный, опирается на дугу HS.
• Следовательно, дуга HS = 2 * ∠HAS = 2 * 9° = 18°.
• Угол ∠HCS — вписанный угол, опирающийся на дугу HS.
• ∠HCS = дуга HS / 2 = 18° / 2 = 9°.

Ответ: 9°