6. Треугольник МРК равнобедренный, его основание МК равно 16 м, а периметр равен 52 м. Найдите длину отрезка АР (A — точка касания вписанной окружности со стороной МР).

Question

Accepted Answer

Треугольник МРК равнобедренный, МК — основание. Периметр треугольника равен 52 м, МК = 16 м.

Периметр = МР + РК + МК.

Так как треугольник равнобедренный, то МР = РК.

52 м = МР + МР + 16 м

2 * МР = 52 м - 16 м

2 * МР = 36 м

МР = 36 м / 2 = 18 м.

Значит, стороны треугольника равны: МР = 18 м, РК = 18 м, МК = 16 м.

Точка А — точка касания вписанной окружности со стороной МР.

Обозначим точки касания на сторонах МК и РК как В и С соответственно.

Из свойств касательных, проведенных из одной точки, следуют равенства отрезков:

Известно, что МК = 16 м. Точка В делит сторону МК. MB + BK = 16.

Известно, что МР = 18 м. Точка А делит сторону МР. MA + AR = 18.

Известно, что РК = 18 м. Точка С делит сторону РК. PC + CK = 18.

Так как МА = МВ, и РА = РС, и КВ = КС, мы можем составить систему уравнений:

Из равенств касательных:

Подставим эти равенства в уравнения:

Из уравнения 2: MA = 16 - BK.

Подставим это в уравнение 1:

(16 - BK) + AR = 18

AR - BK = 2

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (AR и BK):

Сложим эти два уравнения:

(AR + BK) + (AR - BK) = 18 + 2

2 * AR = 20

AR = 10 м.

Так как АР = AR, то длина отрезка АР равна 10 м.

Ответ: Длина отрезка АР равна 10 м.