6. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A:∠B:∠C = 1:2:3. Длина отрезка АВ равна 14. Найдите длину отрезка ВС.

Решение:

Дано:

• Углы треугольника АВС относятся так: $$∠$$A : $$∠$$B : $$∠$$C = 1 : 2 : 3.
• Длина отрезка АВ = 14.

Найти: длину отрезка ВС.

1. Находим величину углов треугольника:

Пусть $$∠$$A = x.

Тогда $$∠$$B = 2x.

$$∠$$C = 3x.

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$∠$$A + $$∠$$B + $$∠$$C = 180°

x + 2x + 3x = 180°

6x = 180°

x = 180° / 6 = 30°.

Следовательно:

• $$∠$$A = 30°
• $$∠$$B = 2 * 30° = 60°
• $$∠$$C = 3 * 30° = 90°

Итак, треугольник АВС — прямоугольный, с прямым углом при вершине С.

2. Находим длину отрезка ВС, используя теорему синусов:

Теорема синусов гласит:

$$rac{a}{sin A} = rac{b}{sin B} = rac{c}{sin C}$$

Где a — сторона ВС, b — сторона АС, c — сторона АВ.

Нам нужно найти ВС (a), нам известно АВ (c = 14) и углы A, B, C.

$$rac{BC}{sin A} = rac{AB}{sin C}$$

$$rac{BC}{sin 30°} = rac{14}{sin 90°}$$

Знаем, что $$sin 30° = 0.5$$ (или 1/2), а $$sin 90° = 1$$.

$$rac{BC}{0.5} = rac{14}{1}$$

$$BC = 14 · 0.5 = 7$$.

Ответ: 7