6. Угол при основании равнобедренной трапеции равен 120°. Прямая, которая проходит через вершину тупого угла и параллельна боковой стороне, делит большее основание на отрезки 5 см и 7 см. Найдите периметр трапеции. Сколько решений имеет задача?

В условии не указана длина боковой стороны, но её можно получить из разности оснований. Прямая, проведённая через вершину тупого угла параллельно боковой стороне, отсекает на большем основании отрезок, равный боковой стороне. Поэтому боковая сторона равна либо 5 см, либо 7 см — в зависимости от того, у какой вершины проведена прямая.

Большее основание равно \(5 + 7 = 12\) см. Угол 120° означает, что острый угол при другом основании равен 60°. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна половине её длины. Следовательно, разность оснований равна длине боковой стороны, а меньшее основание составляет 12 см минус эта разность.

Если боковая сторона равна 5 см, меньшее основание равно 7 см, и периметр составляет \(12 + 7 + 2\cdot5 = 29\) см.

Если боковая сторона равна 7 см, меньшее основание равно 5 см, и периметр составляет \(12 + 5 + 2\cdot7 = 31\) см.

Ответ: 29 см или 31 см; задача имеет 2 решения.