6. Упрости выражения: a) (x² + 3)² - (x² - 3)² б) (a - b)² - (a + b)² + 4ab в) (a + 2)² - (a - 2)³ г) (p + q)³ - (p - q)³

Решение:

1. а) Используем формулу разности квадратов $$(A-B)(A+B)$$
   Пусть $$A = (x² + 3)$$ и $$B = (x² - 3)$$.
   $$ (x² + 3)² - (x² - 3)² = [(x² + 3) - (x² - 3)][(x² + 3) + (x² - 3)] $$
   $$ = [x² + 3 - x² + 3][x² + 3 + x² - 3] $$
   $$ = [6][2x²] = 12x² $$
2. б) Раскроем скобки по формулам квадрата суммы и разности:
   $$ (a - b)² - (a + b)² + 4ab = (a² - 2ab + b²) - (a² + 2ab + b²) + 4ab $$
   $$ = a² - 2ab + b² - a² - 2ab - b² + 4ab $$
   $$ = (a² - a²) + (b² - b²) + (-2ab - 2ab + 4ab) $$
   $$ = 0 + 0 + 0 = 0 $$
3. в) Раскроем скобки:
   $$ (a + 2)² - (a - 2)³ = (a² + 4a + 4) - (a³ - 3 · a² · 2 + 3 · a · 2² - 2³) $$
   $$ = (a² + 4a + 4) - (a³ - 6a² + 12a - 8) $$
   $$ = a² + 4a + 4 - a³ + 6a² - 12a + 8 $$
   $$ = -a³ + (a² + 6a²) + (4a - 12a) + (4 + 8) $$
   $$ = -a³ + 7a² - 8a + 12 $$
4. г) Используем формулы куба суммы и разности:
   $$ (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³ $$
   $$ (p - q)³ = p³ - 3p²q + 3pq² - q³ $$
   $$ (p + q)³ - (p - q)³ = (p³ + 3p²q + 3pq² + q³) - (p³ - 3p²q + 3pq² - q³) $$
   $$ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³ - p³ + 3p²q - 3pq² + q³ $$
   $$ = (p³ - p³) + (3p²q + 3p²q) + (3pq² - 3pq²) + (q³ + q³) $$
   $$ = 0 + 6p²q + 0 + 2q³ = 6p²q + 2q³ $$

Ответ:

• а) $$12x²$$
• б) $$0$$
• в) $$-a³ + 7a² - 8a + 12$$
• г) $$6p²q + 2q³$$