6. Упростить \(\left(\dfrac{a^{1/2}+2}{a+2a^{1/2}+1}-\dfrac{a^{1/2}-2}{a-1}\right)\cdot\dfrac{a^{1/2}+1}{1/a^2}\) при \(a>0,\ a\ne1\).

Обозначим \(t=\sqrt a\). Тогда \(a=t^2\), \(a+2\sqrt a+1=(t+1)^2\), а \(a-1=(t-1)(t+1)\).

Вычислим разность в скобках:

\(\dfrac{t+2}{(t+1)^2}-\dfrac{t-2}{(t-1)(t+1)}=\dfrac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}=\dfrac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\).

Умножение на дробь \(\dfrac{t+1}{1/a^2}\) равносильно умножению на \((t+1)a^2\):

\(\dfrac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot(t+1)a^2=\dfrac{2ta^2}{(t+1)(t-1)}=\dfrac{2a^{5/2}}{a-1}\).

Ответ: \(\dfrac{2a^{5/2}}{a-1}\).