6. Упростите выражение: a) 3\(\frac{3}{7}\)x⁵y⁶ ⋅ \(-2\frac{1}{3}x⁵y\)²; б) (aⁿ⁺¹)² : a²ⁿ.

Решение

а) 3\(\frac{3}{7}\)x⁵y⁶ ⋅ \(-2\frac{1}{3}x⁵y\)²

Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

• 3\(\frac{3}{7}\) = \(\frac{3 \cdot 7 + 3}{7}\) = \(\frac{21 + 3}{7}\) = \(\frac{24}{7}\)
• -2\(\frac{1}{3}\) = -\(\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}\) = -\(\frac{6 + 1}{3}\) = -\(\frac{7}{3}\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

$$ \frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \left(-\frac{7}{3}x^5y\right)^2 $$

Возведем вторую часть в квадрат:

$$ \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{49}{9} $$

$$ (x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10} $$

$$ (y)^2 = y^2 $$

Итак, выражение становится:

$$ \frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \frac{49}{9}x^{10}y^2 $$

Теперь перемножим коэффициенты и переменные:

$$ \left(\frac{24}{7} \cdot \frac{49}{9}\right) \cdot (x^5 \cdot x^{10}) \cdot (y^6 \cdot y^2) $$

Сократим дроби:

• 24 и 9 делятся на 3: 24/3 = 8, 9/3 = 3.
• 49 и 7 делятся на 7: 49/7 = 7, 7/7 = 1.

Получаем:

$$ \left(\frac{8}{1} \cdot \frac{7}{3}\right) = \frac{56}{3} $$

Теперь сложим степени переменных:

• x^5 \(\cdot\) x^{10} = x^{5+10} = x^{15}
• y^6 \(\cdot\) y^2 = y^{6+2} = y^8

Собираем всё вместе:

$$ \frac{56}{3}x^{15}y^8 $$

б) (aⁿ⁺¹)² : a²ⁿ

Сначала раскроем скобки, используя свойство (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ:

$$ (a^{n+1})^2 = a^{(n+1) \cdot 2} = a^{2n+2} $$

Теперь выполним деление:

$$ a^{2n+2} : a^{2n} $$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ:

$$ a^{(2n+2) - 2n} = a^{2n+2-2n} = a^2 $$

Ответ: а) \(\frac{56}{3}\)x^{15}y^8; б) a²