6. В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC и BO = OD. Углы AOB и COD равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда ∠ABO = ∠CDO и ∠BAO = ∠DCO. Это равенство накрест лежащих углов показывает, что AB ∥ CD и AD ∥ BC.

Так как обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, ABCD — параллелограмм.