6.В классе 30 учеников. Семеро не участвуют в олимпиадах по русскому языку и литературе. 20 успешно выступают на олимпиаде по русскому, 15 — по литературе. Вычислить число победителей обеих дисциплин.

Решение:

Это задача на применение принципа включения-исключения для двух множеств. Мы знаем общее количество учеников, тех, кто не участвует ни в одной олимпиаде, и тех, кто участвует в каждой из олимпиад.

1. Найдем, сколько учеников участвуют хотя бы в одной олимпиаде:

• Всего учеников - учеников, не участвующих ни в одной олимпиаде = 30 - 7 = 23 ученика.

2. Теперь используем формулу для двух множеств:

• |Русский ∪ Литература| = |Русский| + |Литература| - |Русский ∩ Литература|

Где:

• |Русский ∪ Литература| = 23 (ученики, участвующие хотя бы в одной олимпиаде)
• |Русский| = 20 (ученики, успешно выступающие по русскому)
• |Литература| = 15 (ученики, успешно выступающие по литературе)
• |Русский ∩ Литература| = ? (ученики, победившие в обеих дисциплинах)

3. Подставляем известные значения и находим пересечение:

• 23 = 20 + 15 - |Русский ∩ Литература|
• 23 = 35 - |Русский ∩ Литература|
• |Русский ∩ Литература| = 35 - 23
• |Русский ∩ Литература| = 12 учеников.

Ответ: 12