6. В конкурсе пения участвовали Петух, Ворона и Кукушка. Каждый член жюри проголосовал за одного из трёх исполнителей. Дятел подсчитал, что в жюри было 59 судей, причём за Петуха и Ворону было в сумме подано 15 голосов, за Ворону и Кукушку — 18 голосов, за Кукушку и Петуха — 20 голосов. Дятел считает плохо, но каждое из четырёх названных им чисел отличается от правильного не более чем на 13. Сколько судей проголосовало за Ворону?

Обозначим правильное число судей через N, а числа голосов за Петуха, Ворону и Кукушку — через П, В и К. Тогда П + В + К = N, поэтому сумма трёх правильных попарных сумм равна 2N.

Число 59 отличается от N не более чем на 13, значит N ≥ 46. Каждая из трёх названных попарных сумм не меньше соответствующего правильного числа минус 13. Поэтому сумма правильных попарных сумм не меньше (15 + 18 + 20) − 3 · 13 = 14. Отсюда 2N ≥ 14, что не уточняет N; используем также, что сумма попарных сумм равна 2N и каждая попарная сумма не больше названной плюс 13: 2N ≤ 53 + 39 = 92, то есть N ≤ 46.

Следовательно, N = 46. Чтобы сумма попарных сумм равнялась 92, каждая должна быть на 13 больше названной: П + В = 28, В + К = 31, К + П = 33. Тогда 2В = 28 + 31 − 33 = 26, значит В = 13.

Ответ: 13 судей.