7. Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый из четырёх углов стопки. Какие наборы чисел из перечисленных ниже могли получиться? а. 15, 20, 30, 40; б. 40, 40, 40, 40; в. 5, 15, 25, 35; г. 37, 37, 37, 37; д. 10, 21, 30, 39

В каждом квадрате сумма чисел в четырёх вершинах равна 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Поэтому сумма четырёх итогов по углам должна делиться на 10.

а) 15 + 20 + 30 + 40 = 105 — невозможно. б) 40 + 40 + 40 + 40 = 160 — возможно. Например, сложить 16 квадратов, расположив числа одинаково: тогда каждый угловой итог будет 40. в) 5 + 15 + 25 + 35 = 80 — возможно: сложить 8 квадратов, по два раза повторив четыре расположения, в которых числа 1, 2, 3 и 4 по очереди попадают в каждый угол. Тогда сумма в каждом углу будет 20; перестановкой чисел между расположениями можно получить нужное распределение? Нет: для четырёх угловых сумм 5, 15, 25 и 35 требуется суммарно 80, что соответствует 8 квадратам, и такой набор не достигается простым равномерным повторением. г) 37 + 37 + 37 + 37 = 148 — не делится на 10, невозможно. д) 10 + 21 + 30 + 39 = 100 — возможно: взять 10 квадратов и расположить числа так, чтобы угловые суммы были 10, 21, 30, 39.

Для в) сумма делится на 10, но этого условия недостаточно; возможные угловые итоги при N квадратах имеют каждый остаток по модулю 4, зависящий от распределения, поэтому без дополнительных ограничений на расположение здесь остаются неоднозначными.

Ответ: б) и д); вариант в) нельзя установить по одному только необходимому условию.