6. В коробке находятся 5 желтых и 6 красных мячей. Наугад вынимают 3 мяча. Найти вероятность события:

Решение:

Общее количество мячей в коробке: \( 5 \text{ (желтых)} + 6 \text{ (красных)} = 11 \) мячей.

Вынимают 3 мяча. Общее число способов выбрать 3 мяча из 11 равно числу сочетаний \( C_{11}^3 \):

\[ C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165 \]

1) все вынутые мячи желтые

Число способов выбрать 3 желтых мяча из 5 желтых равно числу сочетаний \( C_5^3 \):

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Вероятность того, что все вынутые мячи желтые:

\[ P(\text{все желтые}) = \frac{\text{число способов выбрать 3 желтых}}{\text{общее число способов выбрать 3 мяча}} = \frac{10}{165} \]

Сокращаем дробь:

\[ \frac{10}{165} = \frac{2}{33} \]

2) хотя бы один мяч красный

Противоположное событие к 'хотя бы один мяч красный' — это 'все мячи желтые'.

Мы уже нашли вероятность того, что все мячи желтые: \( P(\text{все желтые}) = \frac{2}{33} \).

Вероятность того, что хотя бы один мяч красный, равна 1 минус вероятность того, что все мячи желтые:

\[ P(\text{хотя бы один красный}) = 1 - P(\text{все желтые}) = 1 - \frac{2}{33} = \frac{33}{33} - \frac{2}{33} = \frac{31}{33} \]

Ответ: 1) \( \frac{2}{33} \); 2) \( \frac{31}{33} \).