6) В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

Обозначим через R расстояние от центра основания до вершины квадрата, а через a — сторону основания.

1. По теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой, боковым ребром и радиусом описанной окружности основания: \(R^2+2^2=5^2\).
2. \(R^2=25-4=21\), поэтому \(R=\sqrt{21}\).
3. Для квадрата \(R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\), значит \(a=R\sqrt{2}=\sqrt{42}\).
4. Площадь основания: \(S_{\text{осн}}=a^2=42\).
5. Объём пирамиды: \(V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\dfrac{1}{3}\cdot42\cdot2=28\).

Ответ: 28.