6. В правильной треугольной пирамиде SABС медианы основания АВС пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка

Так как площадь основания \( S_{ABC} = 2 \) и объём пирамиды \( V = 5 \), высоту пирамиды \( H \) можно найти по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H \).

Отсюда \( H = \frac{3V}{S_{ABC}} = \frac{3 \cdot 5}{2} = 7.5 \).

В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в центре описанной окружности. Радиус описанной окружности \( R \) для равностороннего треугольника со стороной \( a \) равен \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Площадь равностороннего треугольника \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \). Из условия \( S_{ABC} = 2 \), следовательно \( a^2 = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \).

Тогда \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3\sqrt{3}}} \).

Длина бокового ребра \( L \) находится по теореме Пифагора: \( L^2 = H^2 + R^2 \).

Ответ: 7,5