6 В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Она делит прямой угол на два угла, равные 45° (если треугольник равнобедренный) или разные (если не равнобедренный).
2. Пусть угол C = 90°. CD — высота, CM — медиана. Угол DCM = 40°.
3. В прямоугольном треугольнике BCD, угол B = 90° - угол BCD.
4. В прямоугольном треугольнике ACD, угол A = 90° - угол BCD.
5. В прямоугольном треугольнике CMB, угол BCM = 90° - угол B.
6. В прямоугольном треугольнике CMD, угол MCD = 90° - угол BCD.
7. Угол BCD = Угол BCM + Угол MCD.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где проведены высота и медиана. Пусть прямой угол C. Медиана CM делит гипотенузу AB пополам, т.е. CM = AM = BM. Треугольники AMC и BMC равнобедренные.
9. В равнобедренном треугольнике AMC, угол ACM = угол A.
10. В равнобедренном треугольнике BMC, угол BCM = угол B.
11. Угол ACB = Угол ACM + Угол BCM = Угол A + Угол B = 90°.
12. Угол между высотой CD и медианой CM равен 40°.
13. Угол ACM = Угол ACD + Угол DCM.
14. Угол BCM = Угол BCD + Угол DCM.
15. Либо Угол ACD = Угол ACM + Угол DCM, либо Угол BCD = Угол BCM + Угол DCM.
16. Рассмотрим случай, когда медиана находится между высотой и одной из сторон.
17. Пусть угол между медианой CM и высотой CD равен 40°.
18. В прямоугольном треугольнике CMD, угол CMD = 90° - угол BCD.
19. В прямоугольном треугольнике CMD, угол CMD = 90° - угол BCD.
20. В прямоугольном треугольнике BCD, угол B = 90° - угол BCD.
21. В прямоугольном треугольнике ACD, угол A = 90° - угол BCD.
22. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол CAD = 90° - угол BCD.
23. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Угол CBD = 90° - угол BCD.
24. Медиана CM делит гипотенузу AB так, что AM = BM = CM.
25. В треугольнике AMC: Угол MAC = Угол MCA.
26. В треугольнике BMC: Угол MBC = Угол MCB.
27. Угол ACB = 90°.
28. Угол между высотой CD и медианой CM = 40°.
29. Это означает, что либо Угол ACD - Угол BCM = 40°, либо Угол BCD - Угол ACM = 40°.
30. Пусть Угол BCD > Угол ACD. Тогда Угол BCD - Угол ACD = 40°.
31. Также Угол BCD + Угол ACD = 90°.
32. Сложим два уравнения: 2 * Угол BCD = 130°.
33. Угол BCD = 65°.
34. Тогда Угол ACD = 90° - 65° = 25°.
35. В прямоугольном треугольнике BCD, Угол B = 90° - Угол BCD = 90° - 65° = 25°.
36. В прямоугольном треугольнике ACD, Угол A = 90° - Угол ACD = 90° - 25° = 65°.
37. Проверка: Угол A + Угол B = 65° + 25° = 90°.
38. Больший острый угол равен 65°.

Ответ: 65°