6. В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса BN внешнего угла при вершине В. Определите угол HBN, который биссектриса BN образует с высотой ВН, проведенной к основанию АС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса внешнего угла при вершине B делит угол пополам. Высота BH, проведенная к основанию AC, является также и биссектрисой угла B.

Внешний угол при вершине B равен \( \alpha \). Биссектриса BN делит его пополам, то есть \( \angle ABN = \angle NBC = \frac{\alpha}{2} \).

Угол ABC равен \( \beta \). Так как треугольник равнобедренный, \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - \beta}{2} \).

Высота BH делит угол ABC пополам, то есть \( \angle ABH = \angle HBC = \frac{\beta}{2} \).

Угол HBN равен разности между углом ABN и углом ABH: \( \angle HBN = \angle ABN - \angle ABH = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} \).

Внешний угол \( \alpha \) и внутренний угол \( \beta \) при вершине B являются смежными, поэтому \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \), откуда \( \alpha = 180^{\circ} - \beta \).

Подставляем значение \( \alpha \) в формулу для \( \angle HBN \):

\( \angle HBN = \frac{180^{\circ} - \beta}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} - \frac{\beta}{2} - \frac{\beta}{2} = 90^{\circ} - \beta \).

Но \( \frac{\beta}{2} = \angle ABH \). Значит, \( \beta = 2 \cdot \angle ABH \).

\( \angle HBN = 90^{\circ} - 2 \cdot \angle ABH \).

Также \( \angle ABH = \angle ABН \).

Так как \( BH \) — высота, \( \angle BHA = 90^{\circ} \). В треугольнике \( ABH \): \( \angle BAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - \angle ABH \).

Следовательно, \( \angle BAH = \frac{\beta}{2} \).

Тогда \( \angle HBN = \angle ABN - \angle ABH = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{180^{\circ} - \beta}{2} - \frac{\beta}{2} = 90^{\circ} - \beta \).

Рассмотрим треугольник ABC. \( \angle B = \beta \). \( \angle A = \angle C = \frac{180^{\circ} - \beta}{2} \).

Угол ABN = \( \frac{180^{\circ} + \beta}{2} \) (внешний угол).

Угол ABH = \( \frac{\beta}{2} \).

\( \angle HBN = \angle ABN - \angle ABH = \frac{180^{\circ} + \beta}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ} \).

Это ошибка. Рассмотрим рисунок. BN — биссектриса внешнего угла. BH — высота.

Пусть \( \angle ABC = \beta \). Тогда \( \angle ABH = \frac{\beta}{2} \) (так как BH — биссектриса равнобедренного треугольника).

Внешний угол при вершине B равен \( 180^{\circ} - \beta \).

Биссектриса BN делит внешний угол пополам, значит \( \angle ABN = \frac{180^{\circ} - \beta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} \).

\( \angle HBN = \angle ABN - \angle ABH = (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) - \frac{\beta}{2} = 90^{\circ} - \beta \).

В треугольнике ABC, \( \angle A = \angle C = \frac{180^{\circ} - \beta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} \).

В треугольнике ABH, \( \angle BAH = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} \).

\( \angle HBN = 90^{\circ} - \beta \).

Угол HBN равен разности углов между биссектрисой внешнего угла и высотой. Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \). Тогда \( \angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Внешний угол при вершине B равен \( 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha) = 2\alpha \).

Биссектриса BN делит внешний угол пополам, значит \( \angle ABN = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).

Высота BH в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой угла B, значит \( \angle ABH = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{180^{\circ} - 2\alpha}{2} = 90^{\circ} - \alpha \).

\( \angle HBN = \angle ABN - \angle ABH = \alpha - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha - 90^{\circ} + \alpha = 2\alpha - 90^{\circ} \).

Но \( \angle HBN \) не может быть отрицательным. Нужно учитывать, что BN может быть «снаружи» BH.

\( \angle HBN = |\angle ABN - \angle ABH| = |\alpha - (90^{\circ} - \alpha)| = |2\alpha - 90^{\circ}| \).

Также \( \angle A = \alpha \).

\( \angle HBN = |2\angle A - 90^{\circ}| \).

Ответ: \( |2\angle A - 90^{\circ}| \).