7. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена биссектриса DC. Найдите угол ADC, если ∠B = 58°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \).

Дано \( \angle B = 58^{\circ} \).

Найдем \( \angle BAC \):

\( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ} \).

DC — биссектриса прямого угла, значит, она делит \( \angle C \) пополам:

\( \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ADC.

Угол ADC является внешним углом треугольника BDC.

\( \angle ADC = \angle B + \angle BCD \) (как внешний угол треугольника BDC).

\( \angle ADC = 58^{\circ} + 45^{\circ} = 103^{\circ} \).

Проверка:

В треугольнике ADC:

\( \angle DAC = 32^{\circ} \)

\( \angle ACD = 45^{\circ} \)

\( \angle ADC = 103^{\circ} \)

Сумма углов в треугольнике ADC: \( 32^{\circ} + 45^{\circ} + 103^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( 103^{\circ} \).