6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 56 см, а периметр треугольника АВМ равен 42 см.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС медиана АМ является также и высотой, и биссектрисой. Следовательно, \( \angle AMB = 90^{\circ} \).

Периметр треугольника АВС равен \( AB + AC + BC = 56 \) см. Так как \( AB = AC \) и \( BM = MC = \frac{1}{2} BC \), то \( 2AB + BC = 56 \) см.

Периметр треугольника АВМ равен \( AB + AM + BM = 42 \) см.

Выразим \( BC \) из первого уравнения: \( BC = 56 - 2AB \).

Тогда \( BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (56 - 2AB) = 28 - AB \).

Подставим \( BM \) во второе уравнение: \( AB + AM + (28 - AB) = 42 \).

Упростим: \( AM + 28 = 42 \).

Выразим \( AM \): \( AM = 42 - 28 = 14 \) см.

Ответ: 14 см.