5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС медиана АМ является также и высотой, и биссектрисой. Следовательно, \( \angle AMB = 90^{\circ} \).

Периметр треугольника АВС равен \( AB + AC + BC = 40 \) см. Так как \( AB = AC \) и \( BM = MC = \frac{1}{2} BC \), то \( 2AB + BC = 40 \) см.

Периметр треугольника АВМ равен \( AB + AM + BM = 32 \) см.

Выразим \( BC \) из первого уравнения: \( BC = 40 - 2AB \).

Тогда \( BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (40 - 2AB) = 20 - AB \).

Подставим \( BM \) во второе уравнение: \( AB + AM + (20 - AB) = 32 \).

Упростим: \( AM + 20 = 32 \).

Выразим \( AM \): \( AM = 32 - 20 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.