6. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Обозначим меньшее основание через b, а горизонтальную проекцию каждой боковой стороны на большее основание — через x. Пусть t = x/b. Так как боковая сторона равна меньшему основанию, высота трапеции равна b√(1 − t²).

Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, диагональю и большим основанием. Косинус угла 120° выражается через t так:

\(\dfrac{1-t-2t^2}{\sqrt{2(1+t)}}=-\dfrac12\).

После возведения в квадрат получаем \(8t^4+8t^3-6t^2-5t+1=0\). Подходит корень, удовлетворяющий исходному уравнению: \(t\approx0.760\). Следовательно, острый угол трапеции равен \(\arccos(t)\approx40.5^\circ\), а второй угол при той же боковой стороне дополнительный к нему.

Ответ: углы трапеции приблизительно равны 40,5°, 139,5°, 40,5° и 139,5°.