6. В равнобокой трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

В треугольнике ABD угол ABD равен 90°, а угол ADB равен 30°. Значит, AD — гипотенуза, а AB, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы: \(AB=AD/2\).

В равнобокой трапеции боковые стороны равны, поэтому \(CD=AB=AD/2\). Поскольку основания параллельны, угол между BD и BC равен углу между BD и AD, то есть 30°. Вместе с условием \(\angle BDC=30°\) это даёт равные углы при основании BC треугольника BCD; следовательно, \(BC=CD=AD/2\).

Пусть \(AD=x\). Тогда периметр:

\(x+AB+BC+CD=x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}=60\).

Отсюда \(\dfrac{5x}{2}=60\), поэтому \(x=24\) см.

Ответ: AD = 24 см.