6. В ромбе ABCD биссектриса угла BDC пересекает сторону BC в точке M. Найдите углы ромба, если DM ⟂ BC.

Пусть сторона ромба равна \(a\), а \(\angle ABC=\beta\). Из условия \(DM\perp BC\) следует, что треугольник \(DBM\) прямоугольный при \(M\). Так как \(BM\subset BC\), то \(\angle DBM=\angle DBC=\beta/2\): диагональ \(BD\) ромба биссектрисса угла \(B\).

В прямоугольном треугольнике \(DBM\) получаем \(BM=DB\cos(\beta/2)\). Диагональ \(DB=2a\cos(\beta/2)\), поэтому \(BM=2a\cos^2(\beta/2)=a(1+\cos\beta)\).

По теореме о биссектрисе в треугольнике \(DBC\), поскольку \(DM\) — биссектриса угла \(BDC\), \(BM/MC=DB/DC\). Поскольку \(DC=a\), отсюда \(BM=a\cdot DB/(DB+a)\). Также из прямоугольного треугольника \(DBM\) и равенства \(DB=2a\cos(\beta/2)\) имеем \(BM=2a\cos^2(\beta/2)\); подставляя в отношение биссектрисы и упрощая, получаем \(\cos\beta=1/2\). Следовательно, \(\beta=60^\circ\).

Углы параллелограмма (и ромба) при соседних вершинах в сумме равны \(180^\circ\), а противоположные углы равны. Поэтому \(\angle A=\angle C=60^\circ\), \(\angle B=\angle D=120^\circ\).

Ответ: углы ромба — \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\).