6. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите ∠AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BH — высота к AC, треугольник BHC прямоугольный. При этом ∠BCH = ∠ACB = 40° и HC = 54, поэтому BH = 54 tan 40°.

M — середина AC, значит AM = 216 / 2 = 108. Из условия AH = AC − HC = 162, поэтому MH = AH − AM = 54.

В прямоугольном треугольнике MHB угол между MH и MB равен arctan(BH/MH) = arctan(tan 40°) = 40°. Луч MA направлен противоположно лучу MH, поэтому ∠AMB = 180° − 40° = 140°.

Ответ: 140°.