6. В треугольнике ABC известно, что AB = 5; BC = 6; CA = 7. На сторонах AB, BC и CA взяты точки K, L и M так, что прямые KL, LM, MK перпендикулярны биссектрисам углов B, C, A соответственно. На какие отрезки делят точки K, L и M стороны треугольника ABC?

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим стороны треугольника: \(AB=5\), \(BC=6\), \(CA=7\).

Для трёх точек на сторонах треугольника воспользуемся условием перпендикулярности и теоремой о биссектрисе. Получается система отношений:

\[\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MA}=1,\]

а из перпендикулярности соответствующих прямых следует, что точки делят стороны пропорционально прилежащим сторонам:

\[\frac{AK}{KB}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{6},\qquad \frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7},\qquad \frac{CM}{MA}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{5}.\]

Тогда:

\[AK:KB=7:6,\qquad BL:LC=5:7,\qquad CM:MA=6:5.\]

Так как \(AK+KB=5\), то одна доля равна \(5/13\):

\[AK=\frac{35}{13},\qquad KB=\frac{30}{13}.\]

Так как \(BL+LC=6\), то одна доля равна \(6/12=1/2\):

\[BL=\frac{5}{2},\qquad LC=\frac{7}{2}.\]

Так как \(CM+MA=7\), то одна доля равна \(7/11\):

\[CM=\frac{42}{11},\qquad MA=\frac{35}{11}.\]

Ответ: \(AK=\frac{35}{13}\), \(KB=\frac{30}{13}\); \(BL=\frac{5}{2}\), \(LC=\frac{7}{2}\); \(CM=\frac{42}{11}\), \(MA=\frac{35}{11}\).