6. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC:

\(AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{84}{2}=42\).

Так как BH — высота, \(BH\perp AC\). Рассмотрим прямоугольные треугольники BMH и BHC. У них общий катет BH, а по условию \(BM=BC\), поэтому \(MH=HC\).

Пусть \(HC=MH=x\). Тогда:

\(AC=AM+MH+HC=42+x+x=84\),

\(2x=42\), \(x=21\).

Следовательно, \(AH=AC-HC=84-21=63\).

Ответ: 63.