6. В треугольнике АВС ВМ медиана и ВН — высота. Известно, что АС=136, НС=34 и \(\angle ACB= 49°\). Найдите \(\angle AMB\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC BM — медиана, BH — высота.

Дано: AC = 136, HC = 34, \(\angle ACB = 49°\).

Так как BH — высота, \(\triangle BHC\) — прямоугольный треугольник с \(\angle BHC = 90°\).

В \(\triangle BHC\): \(\angle HBC = 90° - \angle ACB = 90° - 49° = 41°\).

Так как BM — медиана, M — середина AC. AM = MC = AC/2 = 136/2 = 68.

MC = 68.

HM = MC - HC = 68 - 34 = 34.

Рассмотрим \(\triangle BHC\). По теореме синусов:

\(\frac{BC}{\sin 90°} = \frac{HC}{\sin \angle HBC}\)

\( BC = \frac{HC}{\sin 41°} = \frac{34}{\sin 41°} \approx \frac{34}{0.656} \approx 51.8 \)

В \(\triangle BCM\): BC = \(\frac{34}{\sin 41°}\), MC = 68.

Применим теорему косинусов к \(\triangle BCM\) для нахождения BM:

\( BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos \angle BCM \)

\( BM^2 = (\frac{34}{\sin 41°})^2 + 68^2 - 2 \cdot \frac{34}{\sin 41°} \cdot 68 \cdot \cos 49° \)

\( BM^2 \cdot \sin^2 41° = 34^2 + 68^2 \cdot \sin^2 41° - 2 \cdot 34 \cdot 68 \cdot \sin 41° \cdot \cos 49° \)

\( BM^2 = (\frac{34}{0.656})^2 + 68^2 - 2 \cdot 51.8 \cdot 68 \cdot 0.656 \approx 2683 + 4624 - 4578 \cdot 0.656 \cdot 0.656 \cdot 2 \approx 7307 - 4578 \cdot 0.656 \cdot 2 \cdot 0.656 \cdot 0.656 \approx 5237 - 4578 \cdot 0.656 \approx 2212 \)

\( BM \cdot \sin 41° \cdot 68 \cdot \cos 49° \)

HM = 34. В прямоугольном \(\triangle BHM\):

\(\tan \angle HBM = \frac{HM}{BH}\)

\( BH = HC \cdot \tan 49° = 34 \cdot 1.15 = 39.1 \)

\(\tan \angle HBM = \frac{34}{39.1} \approx 0.87 \)

\(\angle HBM \cdot 41°\)

\(\angle AMB = 180° - \angle BCM - \angle CBM = 180° - 49° - 41° = 90°\)

Ответ: 90