6. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD, следовательно, треугольник ABM прямоугольный, а ∠AMB = 90°. По условию ∠ABM = 30°, поэтому ∠BAM = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABM сторона AM лежит напротив угла 30°, значит она равна половине гипотенузы: AB = 2 · AM = 2 · 4 = 8 см. Все стороны ромба равны, поэтому AD = 8 см.

Поскольку M лежит на AD, угол BAD равен ∠BAM, то есть 60°. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны 8 см, а угол между ними равен 60°. По теореме косинусов BD² = 8² + 8² − 2 · 8 · 8 · cos 60° = 64, откуда BD = 8 см.

Ответ: 8 см.