6. Высота конуса равна 5 см, а образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь осевого сечения и площадь боковой поверхности конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. Угол между образующей и плоскостью основания равен углу между образующей и её проекцией на основание, то есть радиусом.

Из \(\tan 30^\circ=\frac{h}{r}\) находим радиус: \(r=\frac{5}{\tan 30^\circ}=5\sqrt{3}\) см.

Из \(\sin 30^\circ=\frac{h}{l}\) находим образующую: \(l=\frac{5}{\sin 30^\circ}=10\) см.

Осевое сечение — треугольник с основанием \(2r\) и высотой \(h\). Его площадь: \(S_{\text{ос}}=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot h=rh=5\sqrt{3}\cdot5=25\sqrt{3}\) см².

Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi\cdot5\sqrt{3}\cdot10=50\sqrt{3}\pi\) см².

Ответ: \(25\sqrt{3}\) см²; \(50\sqrt{3}\pi\) см².