6. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите своё решение.

Пусть цифры двузначного числа — \(a\) (десятки) и \(b\) (единицы). Тогда число равно \(10a+b\), а условие даёт уравнение \((10a+b)ab=255\).

Разложим 255 на множители: \(255=3\cdot5\cdot17\). Произведение цифр \(ab\) — целое число от 0 до 81 и должно быть делителем 255. Проверка возможных произведений цифр даёт подходящие варианты \(ab=3\) и \(ab=15\).

Если \(ab=3\), цифры — 1 и 3. Число должно быть \(255:3=85\), но произведение цифр числа 85 равно 40, значит этот вариант не подходит.

Если \(ab=15\), цифры — 3 и 5. Число должно быть \(255:15=17\), но произведение цифр числа 17 равно 7, поэтому и этот вариант не подходит.

Следовательно, подходящего двузначного числа нет. Проверка перебором возможных произведений цифр показывает, что уравнение не имеет решения среди цифр от 0 до 9.

Ответ: такого двузначного числа не существует.