61. Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6. 1) Проверьте утверждение на примерах. 2) Обсудите, из чего следует справедливость утверждения. 3) Проведите доказательство.

1) Проверка на примерах. Для простых чисел начиная с 5:

• \(5-1=4\), \(5+1=6\), на 6 делится 6;
• \(7-1=6\), на 6 делится 6;
• \(11+1=12\), на 6 делится 12;
• \(13-1=12\), на 6 делится 12;
• \(17+1=18\), на 6 делится 18.

2) Обоснование. Простое число, большее 3, не делится ни на 2, ни на 3. Поэтому оно имеет вид, соответствующий одному из остатков 1 или 5 при делении на 6.

3) Доказательство. При делении простого числа \(p>3\) на 6 возможны остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5. Остатки 0, 2 и 4 невозможны, так как тогда число делится на 2. Остаток 3 невозможен, так как число делится на 3. Остаток 0 также невозможен для простого числа, большего 3. Значит, \(p\) имеет остаток 1 или 5: \(p=6k+1\) или \(p=6k+5\). В первом случае \(p-1=6k\), во втором \(p+1=6(k+1)\). Следовательно, простое число, большее 3, либо уменьшенное на 1, либо увеличенное на 1 делится на 6.