61. Сколько решений имеет уравнение: а) \(\frac{25}{x}=2x-5\); б) \(x^3=|x|^2\)?

а)

Так как \(x\ne0\), умножим уравнение на \(x\):

\[25=2x^2-5x,\]

\[2x^2-5x-25=0.\]

Дискриминант:

\[D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-25)=225>0.\]

Квадратное уравнение имеет два различных корня, оба допустимы.

б)

Рассмотрим случаи.

При \(x\ge0\): \(|x|^2=x^2\), поэтому \(x^3=x^2\), откуда \(x^2(x-1)=0\). Получаем \(x=0\) и \(x=1\).

При \(x<0\): также \(|x|^2=x^2\), поэтому \(x^2(x-1)=0\), но отрицательных корней нет.

Ответ: а) 2 решения; б) 2 решения.