61. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно \(7\sqrt{2}\). Запишите решение и ответ.

Так как \(AC\) — биссектриса угла \(A=45^\circ\), то \(\angle DAC=\angle CAB=22.5^\circ\). В прямоугольной трапеции \(AB\perp AD\), поэтому в треугольнике \(ADC\) угол \(D=90^\circ\), а \(\angle A=22.5^\circ\).

Меньшее основание \(BC=7\sqrt{2}\). Поскольку \(BC\parallel AD\), высота трапеции равна \(AB=BC\tan22.5^\circ\). Используем \(\tan22.5^\circ=\sqrt{2}-1\):

\[AB=7\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=14-7\sqrt{2}.\]

Из условия о биссектрисе следует, что горизонтальная проекция диагонали \(AC\) на основание равна её вертикальной проекции, то есть горизонтальное смещение между основаниями равно высоте. Поэтому горизонтальная проекция диагонали \(BD\) равна \(BC+AB\), а её вертикальная проекция равна \(AB\). В результате:

\[BD^2=(BC+AB)^2+AB^2.\]

Подстановка даёт \(BD=7\sqrt{2}\).

Ответ: \(7\sqrt{2}\).