617*. Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Пусть длина искомого отрезка равна x, а высота всей трапеции — h. Длина параллельного основания внутри трапеции изменяется линейно от a до b.

Площадь части от основания a до отрезка равна половине площади всей трапеции. Для такой части высота пропорциональна разности квадратов оснований:

\(\dfrac{h_1}{h}=\dfrac{x^2-a^2}{b^2-a^2}\), а условие равенства площадей даёт \(h_1/h=1/2\).

Следовательно, \(x^2-a^2=(b^2-a^2)/2\), откуда \(x^2=(a^2+b^2)/2\).

Ответ: \(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\).